cinemática de cuerpos rígidos

Problema 15.55

Si la manivela $AB$ tiene una velocidad angular constante de 160 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj, determina la velocidad angular de la varilla $BD$ y la velocidad del collarín $D$ cuando a) $\theta = 0$, b) $\theta = 90^\circ$.

Video del problema 15.221

Análisis preliminar del problema

Veamos que movimientos presentan cada uno de los componentes móviles del sistema.

Manivela : barra $AB$ está en rotación pura.
Biela: barra $BD$ está en movimiento plano general.
Collarín: cuerpo asociado a $D$ está en traslación pura.

Primero, lo más obvio. El punto $B$ es común a la manivela y a la biela. Y el punto $D$ es común a la biela y al collarín. Lo que quiere decir que las velocidades de estos puntos van a ser las mismas (respectivamente) para los cuerpos que conectan.

Al conocer la velocidad angular de la manivela (barra $AB$) y saber que esta barra tiene un movimiento de rotación pura, podemos conocer la velocidad de cualquiera de sus puntos. Tal como la velocidad del punto $B$ que es la unión de la manivela con la viela.

Cuando miramos al collarín, vemos que la velocidad del mismo va a estar dirigido en la dirección horizontal o a lo largo del eje $x$. Por lo tanto la velocidad del collarín en la dirección vertical o $y$ va a ser cero y se puede representar de la siguiente manera: ${v}_{D_y} = 0$.

Finalmente, como la biela está en movimiento plano general y es el cuerpo que contiene tanto a la velocidad angular de la biela como la velocidad del collaría este se convierte en nuestro cuerpo de estudio y podemos aplicar el concepto de dividir a este movimiento en una suma de un movimiento de traslación más un movimiento de rotación.

Teniendo en cuenta estas premisas, podemos calcular cualquier parámetro cinemático pedido en el problema.

Procedimiento de solución

Determinar siempre que sea posible la velocidad de los puntos del cuerpo.
Dibujar la "ecuación de diagrama", esto es, digrama de moviemiento plano, diagrama de traslación, y diagrama de rotación.
Escribir la fórmula de velocidad relativa.

Parte a: $\theta = 0^\circ$

a.1. Velocidades de los puntos del cuerpo

Gracias al movimiento de rotación puro de la manivela, podemos calcular la velocidad del punto B. Puedes variar el ángulo en la animación para tener una idea de hacia donde apuntan estos vectores velocidad.

$$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_B = \boldsymbol{\omega_{AB}} \times {\mathbf{r}}_{B/A} \label{eq:velocidadB} \end{equation} $$

Siendo la magnitud de la velocidad angular de la manivela

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\omega_{AB}} = 160 \text{ (rpm) } \frac{2\pi \text{ rad}}{1\text{ rev}} \frac{1\text{ min}}{60 \text{ s}} = 16.755 \frac{\text{rad}}{\text{s}} \end{equation*} $$

y como vector sería

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\omega_{AB}} = 16.755 \left( \frac{\text{rad}}{\text{s}} \right) \hat{\mathbf{k}} \end{equation*} $$

y ${\mathbf{r}}_{B/A}$ el vector de posición de $B$ con respecto de $A$ definido como

$$ \begin{equation*} {\mathbf{r}}_{B/A} = 3 \left( \text{in} \right)\hat{\mathbf{i}} \end{equation*} $$

Sustituyendo estos resultados parciales en $\eqref{eq:velocidadB}$ tenemos que la velocidad del punto $B$ será

$$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_B = 16.755 \left( \frac{\text{rad}}{\text{s}} \right) \hat{\mathbf{k}} \times 3 \left( \text{in} \right)\hat{\mathbf{i}} \label{eq:velocidadBSol} = 50.265 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}}\right)\hat{\mathbf{j}} \end{equation} $$

Del punto $D$ lo único que conocemos es que solo va a existir velocidad en el eje x, esto es

$$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_D = {v}_{D} \hat{\mathbf{i}} \end{equation} $$

que puede ser positiva o negativa dependiendo del ángulo de la manivela. Para este caso particular, asumiremos que el collarín se mueve en sentido positivo. Puedes experimentar con la animación del sistema para ver si esto es coherente.

a.2. Ecuación de diagrama

El angulo $\beta$ para la configuración mostrada se puede calcular haciendo uso de la longitud de la biela.

$$ \begin{equation} \beta = \arcsin{\left(\frac{6}{10} \right) } = 36.870^\circ \end{equation} $$

a.3. Escribir la fórmula de velocidad relativa

Matemáticamente, esto la ecuación de diagrama se puede representar como $$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_D = {\mathbf{v}}_B + {\mathbf{v}}_{D/B} \label{eq:velD} \end{equation} $$ En la ecuación $\eqref{eq:velD}$ $$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_{D/B} = \boldsymbol{\omega_{AD}} \times {\mathbf{r}}_{D/B} \label{eq:velRelDB} \end{equation} $$

Sustituyendo $\eqref{eq:velRelDB}$ en $\eqref{eq:velD}$ y separando en sus componentes cartesianas $x$ y $y$

$$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_D = {\mathbf{v}}_B + \boldsymbol{\omega_{AD}} \times {\mathbf{r}}_{D/B} \label{eq:velTotal} \end{equation} $$ $$ \begin{equation*} {v}_{D} \left( \frac{\text{in}}{\text{s}}\right) \hat{\mathbf{i}} = 50.265 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}}\right)\hat{\mathbf{j}} + \omega_{AD} \left( \frac{\text{rad}}{\text{s}} \right) \left(-\hat{\mathbf{k}}\right) \times 10 \left( \text{in}\right) \left(\cos\beta \, \hat{\mathbf{i}} + \sin\beta \, \hat{\mathbf{j}}\right) \end{equation*} $$

Podemos ver que las unidades son consistentes, por lo que las omitiremos hasta el final.

$$ \begin{equation} {v}_{D} = 10\omega_{AD} \sin\beta \label{eq:compX} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} 0 = 50.265 - 10\omega_{AD} \cos\beta \label{eq:compY} \end{equation} $$

La ecuación $\eqref{eq:compX}$ representa la suma resultante en la componente horizontal y $\eqref{eq:compY}$ en la componente vertical.

De la ecuación $\eqref{eq:compY}$ podemos calcular fácilmente el valor de $\omega_{AD}$

$$ \begin{equation} \omega_{AD} = \frac{50.265}{10\cos (36.870)} = 6.283 \left( \frac{\text{rad}}{\text{s}} \right) \label{eq:omegaAD} \end{equation} $$

Con este valor, podemos encontrar a la velocidad del collarín de la ecuación $\eqref{eq:compX}$

$$ \begin{equation} {v}_{D} = \left( 10 \right) \left(6.283\right) \sin (36.870) = 37.698 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}}\right) \end{equation} $$

a.4. Resultado

$$ \begin{equation*} \omega_{AD} = 6.283 \left( \frac{\text{rad}}{\text{s}} \right) \circlearrowright \end{equation*} $$ $$ \begin{equation*} {v}_{D} = 37.698 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}}\right) \rightarrow \end{equation*} $$

Parte b: $\theta = 90^\circ$

b.1. Velocidades de los puntos del cuerpo

Para esta parte, lo único que varía en la ecuación $\eqref{eq:velocidadB}$ y la ecuación $\eqref{eq:velTotal}$ son los vectores de $B$ con respecto de $A$ y de $D$ con respecto de $D$, respectivamente. En este caso, estos vectores serán

$$ \begin{equation*} {\mathbf{r}}_{B/A} = 3 \hat{\mathbf{j}} \end{equation*} $$

y para $\mathbf{r}_{D/B}$ debemos calcular el nuevo ángulo $\beta$

$$ \begin{equation} \beta = \arcsin{\left(\frac{3}{10} \right) } = 17.458^\circ \end{equation} $$

Igual que en el apartado a.1, formamos la ecuación de velocidad del punto $B$

$$ \begin{equation} {\mathbf{v}}_B = 16.755 \hat{\mathbf{k}} \times 3 \hat{\mathbf{j}} = -50.265 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}} \right) \hat{\mathbf{i}} \label{eq:velocidadBSol2} \end{equation} $$

b.2 Ecuación de diagrama

b.3 Escribir la fórmula de velocidad relativa

Aplicamos de nuevo la ecuación $\eqref{eq:velTotal}$ pero esta vez con los valores correspondientes de esta parte. Observando el movimiento del mecanismo, podemos notar que el collarín se dirige hacia la izquierda lo que nos da una velocidad negativa y asumiremos una velocidad angular $\omega_{D/A}$ positiva. Veamos que nos resulta.

$$ \begin{equation*} -v_D \hat{\mathbf{i}} = -50.265 \hat{\mathbf{i}} + \omega_{AD}\hat{\mathbf{k}} \times (10) \left(\cos\beta \hat{\mathbf{i}} + \sin\beta \hat{\mathbf{j}} \right) \label{eq:velBCaso2} \end{equation*} $$ $$ \begin{equation} {v}_{D} = 50.265 + 10 \omega_{AD} \sin\beta \label{eq:compX2} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} 0 = 10\omega_{AD} \cos\beta \label{eq:compY2} \end{equation} $$

De la ecuación $\eqref{eq:compY2}$ podemos ver claramente que $\omega_{AD} = 0$. Por lo tanto

$$ \begin{equation} {v}_{D} = 50.265 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}} \right) \leftarrow \end{equation} $$

b.4 Resultado

$$ \begin{equation*} \omega_{AD} = 0 \end{equation*} $$ $$ \begin{equation*} {v}_{D} = 50.265 \left( \frac{\text{in}}{\text{s}} \right) \leftarrow \end{equation*} $$

Consideraciones finales

Utiliza las animaciones para encontrar el valor de $\theta$ para el cual la velocidad del collarín cambia de sentido.
Existirá alguno otro valor del ángulo $\theta$ para el cual la velocidad angular del la biela es cero.
¿De que otra manera podrías resolver este problema?