cinemática de cuerpos rígidos
Problema 15.32
El disco B está en reposo cuando se pone en contacto con el disco A que gira libremente a 450 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. Después de 6 s de deslizamiento, durante el cual cada disco tiene una aceleración angular constante, el disco A alcanza una velocidad angular de 140 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular de cada disco durante el período de deslizamiento.
Análisis preliminar
En este caso, sabemos que el disco A posee una rotación de magnitud constante mientras que el disco B esta en reposo. Cuando acercamos el disco B al disco A (hasta el contacto), gracias a la corredera que sujeta al disco B, el disco A comienza a frenar y el disco B comienza a girar debido a la fricción de contacto. Sabemos que despues de 6s, ambos discos estarán en rodamiento puro (sin deslizamiento) por lo que podemos utilizar la relación de diámetros o radios de los discos para relacionar la velocidad angular de uno con la del otro.
Antes de comenzar el proceso de resolución, debemos transformar las velocidades angulares de rpm a $\frac{\text{rad}}{\text{s}}$. Necesitamos hacer esto solo en el caso del disco A, ya que el disco B está en reposo al inicio.
Para el caso del disco A al inicio:
\begin{equation} \omega_{A_0} = 450 \frac{\cancel{\text{rev}}}{\cancel{ \text{min}}} \left(\frac{2\pi \text{rad}}{1 \cancel{ \text{rev}}}\right) \left(\frac{1 \cancel{\text{min}}}{60 \text{s}}\right) = 47.124 \frac{\text{rad}}{\text{s}} \label{eq:angular_velocity_A} \end{equation}Para el caso del disco A después de 6 s:
\begin{equation} \omega_A = 140 \frac{\cancel{\text{rev}}}{\cancel{ \text{min}}} \left(\frac{2\pi \text{rad}}{1 \cancel{ \text{rev}}}\right) \left(\frac{1 \cancel{\text{min}}}{60 \text{s}}\right) = 14.661 \frac{\text{rad}}{\text{s}} \label{eq:angular_velocity_A_final} \end{equation}Solución
Como durante el deslizamiento, cada disco tiene una aceleración angular constante, la relación entre la velocidad angular final, la velocidad angular inicial, la aceleración angular y el tiempo se puede expresar mediante la ecuación de movimiento rotacional:
\begin{equation}
\omega = \omega_0 + \alpha t
\label{eq:angular_motion}
\end{equation}
En la ecuación $\eqref{eq:angular_motion}$:
$\omega$ = velocidad angular final del disco
$\omega_0$ = velocidad angular inicial del disco
$\alpha$ = aceleración angular del disco
$t$ = tiempo
Para el disco A:
\begin{equation} \omega_A = \omega_{A_0} + \alpha_A t \label{eq:angular_motion_A} \end{equation}Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación $\eqref{eq:angular_motion_A}$:
\begin{equation} -14.661 \frac{\text{rad}}{\text{s}} = -47.124 \frac{\text{rad}}{\text{s} } + \alpha_A (6 \text{s}) \label{eq:angular_motion_A_substituted} \end{equation}Fíjate que se colocaron signos negativos en la ecuación $\eqref{eq:angular_motion_A_substituted}$, esto es porque el disco A se mantiene girando en el sentido de las manecillas del reloj lo que por convención es negativo para nosotros de acuerdo a la regla de la mano derecha.
Resolviendo para $\alpha_A$:
\begin{equation} \alpha_A = \frac{47.124 \frac{\text{rad}}{\text{s}} - 14.661 \frac{\text{rad}}{\text{s}}}{6 \text{s}} \label{eq:angular_acceleration_A} \end{equation}Lo que resulta en:
\begin{equation} \boldsymbol{\alpha}_A = 5.411 \frac{\text{rad}}{\text{s}^2} \label{eq:angular_acceleration_A_result}\circlearrowleft \end{equation}Para el disco B:
\begin{equation} \omega_B = \omega_{B_0} + \alpha_B t \label{eq:angular_motion_B} \end{equation}Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación $\eqref{eq:angular_motion_B}$:
\begin{equation} \omega_B = 0 \frac{\text{rad}}{\text{s}} + \alpha_B (6 \text{s}) \label{eq:angular_motion_B_substituted} \end{equation}Resolviendo para $\alpha_B$:
\begin{equation} \alpha_B = \frac{\omega_B}{6 \text{s}} \label{eq:angular_acceleration_B} \end{equation}Como el disco B está en reposo al inicio, su velocidad angular final estará regida por la relación de diémetros de los discos. Esto es:
\begin{equation} \omega_A r_A = \omega_B r_B \label{eq:angular_velocity_B} \end{equation}$\omega_B$ será:
\begin{equation} \require{cancel} \omega_B = \frac{\omega_A r_A}{r_B} = \frac{\left(14.661 \frac{ \text{rad}}{\text{s}}\right) (3 \cancel{\text{in}})}{5 \cancel{\text{in}}} = 8.797 \frac{\text{rad}}{\text{s}} \end{equation}Sustituyendo este valor en la ecuación $\eqref{eq:angular_acceleration_B}$:
\begin{equation} \boldsymbol{\alpha}_B = \frac{8.797 \frac{\text{rad}}{\text{ s}}}{6 \text{s}} = 1.466 \frac{\text{rad}}{\text{ s}^2} \label{eq:angular_acceleration_B_result}\circlearrowleft \end{equation}Conclusión
La aceleración angular del disco A después de 6 s es de $5.411 \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}$, mientras que la aceleración angular del disco B es $1.466 \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}$. Ambas aceleraciones son positivas, es decir, apuntan en el sentido contrario a las agujas del reloj.