cinemática de cuerpos rígidos

Problema 15.221

La barra doblada que se muestra gira a una razón constante $\omega_1 = 3 \frac{\text{rad}}{\text{s}}$. Si se sabe que el collarín $C$ se mueve hacia el punto $D$ a una rapidez relativa constante $u= 34 \frac{\text{in}}{\text{s}} $, determine para la posición mostrada la velocidad y la aceleración de $C$ si a) $x= 5 \text{in}$, b) $x= 15 \text{in}$.

Video del problema 15.221

Análisis preliminar

Para abordar este problema, vamos a descomponerlo en partes más simples para no perdernos en la geometría y en los vectores. Lo primero es notar que el collarín no tiene un solo movimiento: por un lado, está afectado por el giro de la barra doblada, y por otro, se mueve relativo a esa misma barra. Por eso, vamos a plantear la velocidad total como la suma de la velocidad debida a la rotación y la velocidad relativa del collarín.

Luego, usando la forma de la barra y la inclinación que aparece en la figura, calcularemos la posición del collarín y la dirección de su movimiento relativo, lo que nos va a permitir construir los vectores de manera ordenada. Una vez hecho eso, va a ser mucho más fácil obtener la velocidad sin complicarnos con el análisis completo del problema de golpe. Para la aceleración, vamos a tener que agregar el término de Coriolis, ya que el collarín se mueve dentro de un sistema que está rotando, así que no basta con sumar aceleraciones como si todo fuera recto.

En resumen, el truco va a ser separar el movimiento en "lo que aporta la barra" y "lo que aporta el collarín", para luego juntarlo todo de forma correcta. El mismo procedimiento lo vamos a repetir para las dos posiciones pedidas.

Los datos que tenemos son:

$\boldsymbol{\omega}_1 = 3 \frac{\text{rad}}{\text{s}}$. Velocidad angular de la barra doblada.

$\boldsymbol{\alpha}_1 = 0 \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}$. Aceleración angular de la barra doblada.

$v_C / \mathscr{f} = 34 \frac{\text{in}}{\text{s}}$. Velocidad relativa del collarín con respecto a la barra doblada.

$a_C / \mathscr{f} = 0 \frac{\text{in}}{\text{s}^2}$. Aceleración relativa del collarín con respecto a la barra doblada.

Ambas aceleraciones son cero porque la barra gira a velocidad constante y el collarín se mueve a velocidad relativa constante.

Las fórmulas que vamos a usar son:

$$ \begin{equation} \mathbf{v}_C = \mathbf{v}'_C + \mathbf{v}_{C / \mathscr{f}} \label{eq:velocidad_total} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \mathbf{a}_C = \mathbf{a}'_C + \mathbf{a}_{C / \mathscr{f}} + 2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{C / \mathscr{f}} \label{eq:aceleracion_total} \end{equation} $$

Fijate que en la ecuación $\eqref{eq:aceleracion_total}$ aparece el término de Coriolis, que es el que nos permite tener en cuenta que el collarín se mueve dentro de un sistema que está rotando.

Solución

Caso cuando el collarín está a 5 in del soporte izquierdo.

Lo primero que debemos hacer es saber en donde se encuentra el collarín con respecto a un punto de referencia conocido. En este caso va a ser el punto $A$.

Podemos calcular la distancia vertical del collarín $C$ al eje de giro de la barra doblada que pasa por $A$ utilizando semejanza de triángulos.

$$ \begin{equation} \frac{y_C}{10} = \frac{8}{15} \Rightarrow y = \frac{8}{15} 10 = \frac{16}{3} \text{in} \end{equation} $$

Por lo tanto, el vector de posición de $C$ con respecto a $A$ es:

$$ \begin{equation} \mathbf{r}_{C / A} = 5 \hat{\mathbf{i}} + \frac{16}{3} \hat{\mathbf{j}} \end{equation} $$

Vamos a mantener algunos valores en forma de fracción ya que nos servirá para simplificar los cálculos.

Ahora podemos calcular la velocidad de $C$ visto desde el sistema de referencia inercial. La idea es buscar cada uno de los términos de la ecuación $\eqref{eq:velocidad_total}$ por separado. Primero, la velocidad debida a la rotación de la barra doblada:

$$ \begin{equation} \mathbf{v}'_C = -3 \hat{\mathbf{i}} \times (5 \hat{\mathbf{i}} + \frac{16}{3} \hat{\mathbf{j}}) = -16 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \mathbf{v}_{C / \mathscr{f}} = v_{C / \mathscr{f}} \hat{\mathbf{u}} \end{equation} $$

Para calcular la velocidad relativa de $C$ con respecto a $\mathscr{f}$, necesitamos el vector unitario $\hat{\mathbf{u}}$ que apunta desde $B$ hacia $D$. Este vector se puede obtener normalizando el vector de posición de $D$ con respecto a $C$.

$$ \begin{equation} \hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{r}_{D / B}}{|\mathbf{r}_{D / B}|} \end{equation} $$

El vector de posición de $D$ con respecto a $B$ será

$$ \begin{equation} \mathbf{r}_{D / B} = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} \end{equation} $$

Entondes, el vector unitario es:

$$ \begin{equation} \hat{\mathbf{u}} = \frac{30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}}}{\sqrt{30^2 + (-16)^2}} = \frac{30\hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}}}{34} \end{equation} $$

Igualmente, vamos a dejar este resultado expresado en fracciones. Ahora procedemos a calcular la velocidad de $C$ con respecto a $\mathscr{f}$.

$$ \begin{equation} \mathbf{v}_{C / \mathscr{f}} = 34 \frac{30\hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}}}{34} = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} \frac{\text{in}}{\text{s}} \end{equation} $$

Finalmente, podemos calcular la velocidad de $C$ sumando todos los términos obtenidos presentes en la ecuación $\eqref{eq:velocidad_total}$.

$$ \begin{equation} \mathbf{v}_C = (-16 \hat{\mathbf{k}}) + (30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}}) = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} - 16 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}} \end{equation} $$

Calculemos ahora la aceleración de $C$. Vamos a seguir el mismo procedimiento que para la velocidad, es decir, vamos a calcular cada uno de los términos de la ecuación $\eqref{eq:aceleracion_total}$ por separado.

$$ \begin{equation} \mathbf{a}'_C = \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r}_{C / A} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{C / A}) = 0 + \left(-3 \hat{\mathbf{i}} \times -3 \hat{\mathbf{i}} \times (5 \hat{\mathbf{i}} + \frac{16}{3} \hat{\mathbf{j}})\right) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \mathbf{a}'_C = -48 \hat{\mathbf{j}} \frac{\text{in}}{\text{s}^2} \end{equation} $$

La aceleración relativa de $C$ con respecto a $\mathscr{f}$ es cero, debido a que el collarín se mueve a velocidad relativa constante.

$$ \begin{equation} \mathbf{a}_{C / \mathscr{f}} = 0 \end{equation} $$

La aceleración de Coriolis es:

$$ \begin{equation} 2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{C / \mathscr{f}} = 2 (-3 \hat{\mathbf{i}}) \times (30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}}) = 96 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}^2} \end{equation} $$

Finalmente, la aceleración de $C$ será:

$$ \begin{equation} \mathbf{a}_C = (-48 \hat{\mathbf{j}}) + (0) + (96 \hat{\mathbf{k}}) = -48 \hat{\mathbf{j}} + 96 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}^2} \end{equation} $$

Caso cuando el collarín está a 15 in del soporte izquierdo.

Planteamos el mismo análisis para el caso cuando el collarín está a 15 in del soporte izquierdo. En este caso, la distancia vertical del collarín $C$ al eje de giro de la barra doblada que pasa por $A$ es:

$$ \begin{equation} y_C = 0 \text{in} \end{equation} $$

El vector de posición de $C$ con respecto a $A$ es:

$$ \begin{equation} \mathbf{r}_{C / A} = 15 \hat{\mathbf{i}} \end{equation} $$

Vemos que este vector es paralelo al eje de giro de la barra doblada. Ahora sí, la velocidad que ve un observador parado en el sistema de referencia inercial es:

$$ \begin{equation} \mathbf{v}'_C = -3 \hat{\mathbf{i}} \times (15 \hat{\mathbf{i}}) = 0 \end{equation} $$

Con respecto a la velocidad relativa del collarín con respecto a $\mathscr{f}$, tenemos que el vector unitario $\hat{\mathbf{u}}$ que apunta desde $B$ hacia $D$ es el mismo que en el caso anterior, ya que la dirección de movimiento del collarín no cambia. Por lo tanto, la velocidad de $C$ con respecto a $\mathscr{f}$ es:

$$ \begin{equation} \mathbf{v}_{C / \mathscr{f}} = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} \frac{\text{in}}{\text{s}} \end{equation} $$

Finalmente, la velocidad de $C$ para este caso es:

$$ \begin{equation} \mathbf{v}_C = (0) + (30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}}) = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} \frac{\text{in}}{\text{s}} \end{equation} $$

Ahora calculemos la aceleración de $C$. Primero la aceleración debida a la rotación de la barra doblada:

Esta velocidad es cero porque el vector de posición de $C$ con respecto a $A$ es paralelo al eje de giro de la barra doblada. La aceleración relativa del collarín con respecto a $\mathscr{f}$ también es cero, ya que el collarín se mueve a velocidad relativa constante.

$$ \begin{equation} \mathbf{a}_{C / \mathscr{f}} = 0 \end{equation} $$

Faltaría solamente calcular la aceleración de Coriolis, que es:

Ya tenemos todos los terminos para formar la aceleración de $C$.

$$ \begin{equation} \mathbf{a}_C = 0 + 0 + 96 \hat{\mathbf{k}} = 96 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}^2} \end{equation} $$

Conclusión

Los resultados obtenidos para la velocidad y aceleración del collarín $C$ en las dos posiciones pedidas son:

Para $x=5 \text{in}$:

$\mathbf{v}_C = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} - 16 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}}$

$\mathbf{a}_C = -48 \hat{\mathbf{j}} + 96 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}^2}$

Para $x=15 \text{in}$:

$\mathbf{v}_C = 30 \hat{\mathbf{i}} - 16 \hat{\mathbf{j}} \frac{\text{in}}{\text{s}}$

$\mathbf{a}_C = 96 \hat{\mathbf{k}} \frac{\text{in}}{\text{s}^2}$

En conclusión, la velocidad y aceleración del collarín $C$ dependen de su posición a lo largo de la barra doblada. Cuando el collarín está más cerca del soporte izquierdo, su velocidad tiene componentes en las direcciones $x$, $y$ y $z$, mientras que su aceleración tiene componentes en las direcciones $y$ y $z$. Por otro lado, cuando el collarín está más cerca del centro de la barra doblada, su velocidad solo tiene componentes en las direcciones $x$ y $y$, y su aceleración solo tiene componente en la dirección $z$. Aquí podemos ver cómo la geometría de la barra doblada y el movimiento relativo del collarín afectan su cinemática.